(no subject)
Friday, 25 September 2015 16:16![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
sergeyrПродолжение об образование. Математика.
Предмет необходимый неоспоримо и, снова же, в основном учебные программы это отражают.
Но при переходе к конкретике немедленно проявляются все факторы, которые я описывал в посте-предисловии, в результате чего преподавание превращается в малоосмысленный "профессиональный спорт". Особенно это касается наших палестин, склонных без всяких на то оснований массово гордиться своим традиционно высоким уровнем именно математической подготовки.
В школе огромное внимание до сих пор уделяется "высокой" геометрии (аксиоматика, доказательства теорем, задачи на построение, огромное количество всякой достаточно громоздкой тригонометрии), в алгебре дофига времени уходит на тупое забивание в головы методов работы с той же классической античной геометрией (полиномы - алгебризация конических сечений). Зачем это всё? Школьная математика при такой программе фактически наполовину остается служанкой античных философии и астрономии. Не просто консервативность - архаизм возрастом в 2 тысячи лет! Умение решать такие задачи было еще отчасти важно для инженеров докомпьютерной эпохи, но сейчас от хорошего (действительно хорошего, а не кичащегося своей "настоящестью") инженера требуется совершенно иное.
Какие разделы/разрезы математики сохраняют актуальность?
Разумеется, немыслимо выкинуть арифметику и базовую геометрию - в первую очередь они и дают лучше всего само базовое понимание того, что такое математика вообще; это необходимый мостик между интуицией и формальным мышлением, а также дальнейшими разделами математики. Однако они и должны играть роль такого мостика, а не пытаться заново растить античные (уже несколько столетий как окончательно издохшие) преставления о натурфилософии и учить решать практические задачи, любимые даже не столько греками, сколько египтянами! Эти разделы должны быть резко урезаны - не только потому, что дальнейшее углубление в них отнимает время и нервы, но и потому что оно _отвлекает от понимания основ_.
В дальнейшем не будет необходимости пытаться подводить _полный_ базис, полностью повторять учащимся путь самих математиков в выводе тех или иных результатов - это всё равно не получится, да в этом и просто нет надобности; в универе нам, свежеиспеченным студентам-математикам, на первых же лекциях всё равно прямо говорили: забудьте чему вас учили в последние школьные годы, оставьте только понимание общих принципов - сейчас всё будем выводить как положено, а не как в школе. В школе нужно периодически напоминать о самой сути математики (ее строгой, точной, _абсолютной_ доказательности), но лишь в виде ясного напоминания, а не взращивания _навыков_ сложных отвлеченных построений-доказательств - такие навыки стоит растить только факультативно, у небольшой доли склонных к этому учеников. Цель массового математического образования должна быть совершенно иной: дать ясные понятия о результатах, которые будут применимы и ценны _для самих учащихся_, убрать критически важные в современной среде сбои интуиции. И это как раз то, что существующие программы делают плохо - и не потому, что на математику выделяется мало времени, а потому что практически всё это время уходит на другие (давно уже малоосмысленные) задачи.
Выкинув лишнее, что нужно добавить?
В первую очередь, нужно как можно раньше давать логику. Разумеется, вовсе не нужно сразу всем давать формальную логику предикатов - на первых этапах вообще нужно ограничиваться самыми простыми операциями, но необходимо как можно быстрее подвести учеников к нескольким дыркам в человеческом интуитивном восприятии логики, а это нельзя сделать, не преподав логику именно в ее формализованном, математизированном виде. Это займет несколько лет обучения, по мере которых нужно просто всё время напоминать, повторять и постепенно наращивать сложность логических операций, пока ученики с этим не свыкнутся. Начинать этот процесс можно (и, на мой взгляд, нужно) буквально с первого класса.
Не стоит надеяться, что преподавание логики само по себе приведет к какому-то радикальному улучшению умственных способностей, уменьшению числа ошибок вообще; все, кто настроен на добросовестность суждений, и так не будут делать грубых логических ошибок, и более систематизированное обучение логике лишь несколько поможет им, в то время как остальным оно само по себе не поможет вовсе. Суть в другом. Вдалбливая этот инструмент, можно не только слегка помочь лучшим, но и уменьшить количество информационного мусора в окружающей среде. Кроме того, это просто необходимо для некоторых следующих пунктов.
Совершенно необходимо как можно раньше давать начала _нестрогой_ логики, теории вероятностей и математической статистики. Давать понятие о вероятностях можно сразу после усвоения понятия дробей - как совершенно естественное следствие; понятие вероятности нисколько не сложнее понятия дроби - если усвоилось одно, то усвоится и другое, а усвоение понятия вероятности _крайне_ важно; непонимание простейших понятий и свойств вероятностей приводит к ужасающим, часто смертельным, и при том легко предотвратимым ошибкам во всех областях жизни: медицине, финансах, использовании транспорта, отношении к закону, обустройстве дома, уходе за ребенком - везде! Сколько людей умерло или потеряло критически важные блага просто из-за совершеннейшего непонимания того, _что такое_ риск и удача, из-за совершенно нелепых, доисторически-мифических представлений о понятиях этого ряда, так и не замененных в школе таким же простым и практичным базовым пониманием, как представления о температуре, токсичности, взрывоопасности или электричестве? (Последние, правда, тоже иногда даются в школе настолько беспомощно и недостаточно, что волосы дыбом становятся.) Дыры в вероятностной интуиции у людей обычно просто зияющие, и их нужно начинать затыкать как можно раньше.
Параллельно с предыдущими необходимо как можно раньше давать те начала теории множеств, которые понадобятся для понимания не только дальнейших шагов в логике и теории вероятностей, но и информатики (которая давно оттеснила черчение в списке ближайших к математике прикладных областей деятельности, и это не на всех программах отразилось). Здесь тоже нужно использовать гибкость детского восприятия и начинать раньше, пусть и с самых легких, простых примеров. Диаграммы Венна должны появляться на уроках раньше, чем такие малозначимые для дальнейшего развития мышления штуки, как параболы и параллелограммы. Простейшие примеры колец остатков - это же попросту база систем счисления, это очень легко объяснять (прекрасный повод состыковать практически полезные примеры и теорию: двоичная, десятиричная, двенадцатиричная, шестидесятиричная системы - вполне улягутся за период 2-5 классов школы).
Бесконечные последовательности, пределы и начала матанализа в общеобразовательной школе, на мой взгляд, нужны лишь в самом ограниченном объеме, для понимания методов работы с теми же вероятностями и большой статистикой; месяцами вдалбливать методы нахождения конкретных сумм, пределов, производных и интегралов - совершенно излишне, эти задачи должны даваться лишь для иллюстрации соответствующих понятий, и контролироваться должно лишь понимание этих общих понятий.
Отдельно - практические приложения.
До наших палестин плохо доползает финансовая математика. В буржуинии ей обычно уделяют адекватное внимание, хотя в некоторых программах я заметил, например, дивное отсутствие понятия функции ценности денег. Я, конечно, понимаю что это уже почти психология, но ведь фундаментальное на самом деле понятие, без осознания которого при усвоении дальнейшей финансовой математики может возникнуть дикий крен крыши (легко заметный по нашим реалиям, между прочим).
В некоторых программах есть начала статистического анализа. Начала - это гут! Но обращать внимание необходимо прежде всего на методы _манипулирования_ статистикой, т.к. широкие массы населения столкнутся именно с ними - с недобросовестной рекламой, подтасовками опросов общественного мнения и т.п.
Кое-где вводят начала биоинформатики. Очень хорошо! Страшный набор глюков человеческой интуиции, путающей своё тело и свои продукты питания с идеальными представлениями об оных, нужно исправлять как можно интенсивней, и для этого биоинформатика абсолютно необходима, поэтому давать ее нужно в обязательном порядке и начиная как можно раньше.
Везде неоправданно мало внимания уделяется анализу рисков (асимметрия рисков и выгод в математическом представлении становится _остро_ контринтуитивной, для ее усвоения нужны годы вдалбливания с актуальными примерами).
Местами просматривается искушение в обязательном порядке вводить что-нибудь типа вычислительных методов (приспособленных под информатику), но на мой взгляд это неправильно - такие предметы должны быть сугубо факультативны. Искушение возникает из-за расширения использования компьютеров, но нельзя забывать, что подавляющее большинство людей не _программирует_ компьютеры, и уж тем более не программирует тяжелые вычислительные задачи. Усваивать такие методы можно по мере надобности, они не требуют долгого вдалбливания с "пропатчиванием" сбоящей интуиции, а вот нужны они будут немногим, так что не морочьте людям головы без надобности.
Предмет необходимый неоспоримо и, снова же, в основном учебные программы это отражают.
Но при переходе к конкретике немедленно проявляются все факторы, которые я описывал в посте-предисловии, в результате чего преподавание превращается в малоосмысленный "профессиональный спорт". Особенно это касается наших палестин, склонных без всяких на то оснований массово гордиться своим традиционно высоким уровнем именно математической подготовки.
В школе огромное внимание до сих пор уделяется "высокой" геометрии (аксиоматика, доказательства теорем, задачи на построение, огромное количество всякой достаточно громоздкой тригонометрии), в алгебре дофига времени уходит на тупое забивание в головы методов работы с той же классической античной геометрией (полиномы - алгебризация конических сечений). Зачем это всё? Школьная математика при такой программе фактически наполовину остается служанкой античных философии и астрономии. Не просто консервативность - архаизм возрастом в 2 тысячи лет! Умение решать такие задачи было еще отчасти важно для инженеров докомпьютерной эпохи, но сейчас от хорошего (действительно хорошего, а не кичащегося своей "настоящестью") инженера требуется совершенно иное.
Какие разделы/разрезы математики сохраняют актуальность?
Разумеется, немыслимо выкинуть арифметику и базовую геометрию - в первую очередь они и дают лучше всего само базовое понимание того, что такое математика вообще; это необходимый мостик между интуицией и формальным мышлением, а также дальнейшими разделами математики. Однако они и должны играть роль такого мостика, а не пытаться заново растить античные (уже несколько столетий как окончательно издохшие) преставления о натурфилософии и учить решать практические задачи, любимые даже не столько греками, сколько египтянами! Эти разделы должны быть резко урезаны - не только потому, что дальнейшее углубление в них отнимает время и нервы, но и потому что оно _отвлекает от понимания основ_.
В дальнейшем не будет необходимости пытаться подводить _полный_ базис, полностью повторять учащимся путь самих математиков в выводе тех или иных результатов - это всё равно не получится, да в этом и просто нет надобности; в универе нам, свежеиспеченным студентам-математикам, на первых же лекциях всё равно прямо говорили: забудьте чему вас учили в последние школьные годы, оставьте только понимание общих принципов - сейчас всё будем выводить как положено, а не как в школе. В школе нужно периодически напоминать о самой сути математики (ее строгой, точной, _абсолютной_ доказательности), но лишь в виде ясного напоминания, а не взращивания _навыков_ сложных отвлеченных построений-доказательств - такие навыки стоит растить только факультативно, у небольшой доли склонных к этому учеников. Цель массового математического образования должна быть совершенно иной: дать ясные понятия о результатах, которые будут применимы и ценны _для самих учащихся_, убрать критически важные в современной среде сбои интуиции. И это как раз то, что существующие программы делают плохо - и не потому, что на математику выделяется мало времени, а потому что практически всё это время уходит на другие (давно уже малоосмысленные) задачи.
Выкинув лишнее, что нужно добавить?
В первую очередь, нужно как можно раньше давать логику. Разумеется, вовсе не нужно сразу всем давать формальную логику предикатов - на первых этапах вообще нужно ограничиваться самыми простыми операциями, но необходимо как можно быстрее подвести учеников к нескольким дыркам в человеческом интуитивном восприятии логики, а это нельзя сделать, не преподав логику именно в ее формализованном, математизированном виде. Это займет несколько лет обучения, по мере которых нужно просто всё время напоминать, повторять и постепенно наращивать сложность логических операций, пока ученики с этим не свыкнутся. Начинать этот процесс можно (и, на мой взгляд, нужно) буквально с первого класса.
Не стоит надеяться, что преподавание логики само по себе приведет к какому-то радикальному улучшению умственных способностей, уменьшению числа ошибок вообще; все, кто настроен на добросовестность суждений, и так не будут делать грубых логических ошибок, и более систематизированное обучение логике лишь несколько поможет им, в то время как остальным оно само по себе не поможет вовсе. Суть в другом. Вдалбливая этот инструмент, можно не только слегка помочь лучшим, но и уменьшить количество информационного мусора в окружающей среде. Кроме того, это просто необходимо для некоторых следующих пунктов.
Совершенно необходимо как можно раньше давать начала _нестрогой_ логики, теории вероятностей и математической статистики. Давать понятие о вероятностях можно сразу после усвоения понятия дробей - как совершенно естественное следствие; понятие вероятности нисколько не сложнее понятия дроби - если усвоилось одно, то усвоится и другое, а усвоение понятия вероятности _крайне_ важно; непонимание простейших понятий и свойств вероятностей приводит к ужасающим, часто смертельным, и при том легко предотвратимым ошибкам во всех областях жизни: медицине, финансах, использовании транспорта, отношении к закону, обустройстве дома, уходе за ребенком - везде! Сколько людей умерло или потеряло критически важные блага просто из-за совершеннейшего непонимания того, _что такое_ риск и удача, из-за совершенно нелепых, доисторически-мифических представлений о понятиях этого ряда, так и не замененных в школе таким же простым и практичным базовым пониманием, как представления о температуре, токсичности, взрывоопасности или электричестве? (Последние, правда, тоже иногда даются в школе настолько беспомощно и недостаточно, что волосы дыбом становятся.) Дыры в вероятностной интуиции у людей обычно просто зияющие, и их нужно начинать затыкать как можно раньше.
Параллельно с предыдущими необходимо как можно раньше давать те начала теории множеств, которые понадобятся для понимания не только дальнейших шагов в логике и теории вероятностей, но и информатики (которая давно оттеснила черчение в списке ближайших к математике прикладных областей деятельности, и это не на всех программах отразилось). Здесь тоже нужно использовать гибкость детского восприятия и начинать раньше, пусть и с самых легких, простых примеров. Диаграммы Венна должны появляться на уроках раньше, чем такие малозначимые для дальнейшего развития мышления штуки, как параболы и параллелограммы. Простейшие примеры колец остатков - это же попросту база систем счисления, это очень легко объяснять (прекрасный повод состыковать практически полезные примеры и теорию: двоичная, десятиричная, двенадцатиричная, шестидесятиричная системы - вполне улягутся за период 2-5 классов школы).
Бесконечные последовательности, пределы и начала матанализа в общеобразовательной школе, на мой взгляд, нужны лишь в самом ограниченном объеме, для понимания методов работы с теми же вероятностями и большой статистикой; месяцами вдалбливать методы нахождения конкретных сумм, пределов, производных и интегралов - совершенно излишне, эти задачи должны даваться лишь для иллюстрации соответствующих понятий, и контролироваться должно лишь понимание этих общих понятий.
Отдельно - практические приложения.
До наших палестин плохо доползает финансовая математика. В буржуинии ей обычно уделяют адекватное внимание, хотя в некоторых программах я заметил, например, дивное отсутствие понятия функции ценности денег. Я, конечно, понимаю что это уже почти психология, но ведь фундаментальное на самом деле понятие, без осознания которого при усвоении дальнейшей финансовой математики может возникнуть дикий крен крыши (легко заметный по нашим реалиям, между прочим).
В некоторых программах есть начала статистического анализа. Начала - это гут! Но обращать внимание необходимо прежде всего на методы _манипулирования_ статистикой, т.к. широкие массы населения столкнутся именно с ними - с недобросовестной рекламой, подтасовками опросов общественного мнения и т.п.
Кое-где вводят начала биоинформатики. Очень хорошо! Страшный набор глюков человеческой интуиции, путающей своё тело и свои продукты питания с идеальными представлениями об оных, нужно исправлять как можно интенсивней, и для этого биоинформатика абсолютно необходима, поэтому давать ее нужно в обязательном порядке и начиная как можно раньше.
Везде неоправданно мало внимания уделяется анализу рисков (асимметрия рисков и выгод в математическом представлении становится _остро_ контринтуитивной, для ее усвоения нужны годы вдалбливания с актуальными примерами).
Местами просматривается искушение в обязательном порядке вводить что-нибудь типа вычислительных методов (приспособленных под информатику), но на мой взгляд это неправильно - такие предметы должны быть сугубо факультативны. Искушение возникает из-за расширения использования компьютеров, но нельзя забывать, что подавляющее большинство людей не _программирует_ компьютеры, и уж тем более не программирует тяжелые вычислительные задачи. Усваивать такие методы можно по мере надобности, они не требуют долгого вдалбливания с "пропатчиванием" сбоящей интуиции, а вот нужны они будут немногим, так что не морочьте людям головы без надобности.
